在常見(jiàn)的機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，齒輪傳動(dòng)是應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)之一。其中，圓柱直齒輪因其使用圓周速度和功率范圍廣、壽命較長(zhǎng)、傳動(dòng)比精確穩(wěn)定、效率高等優(yōu)點(diǎn)在現(xiàn)代各種機(jī)械設(shè)備中得到了廣泛的應(yīng)用。
在實(shí)際使用時(shí)要求齒輪機(jī)構(gòu)有較高的加工精度和裝配精度，在有限元分析、運(yùn)動(dòng)仿真等對(duì)結(jié)構(gòu)和模型精度要求較高的使用場(chǎng)景下，也需要建立的齒輪模型具有較高的精度，因此，精準(zhǔn)地建立漸開(kāi)線圓柱直齒輪模型至關(guān)重要。此外，在模型設(shè)計(jì)時(shí)盡量減少使用軟件的種類，能提高工程師的工作效率。
現(xiàn)階段有諸多學(xué)者提出使用SolidWorks建立圓柱直尺輪模型的方法，但也存在一些缺點(diǎn)，例如文獻(xiàn)介紹了SolidWorks中自帶的Toolbox插件、用圓弧或樣條曲線代替漸開(kāi)線的方法，用這兩種方法繪制出的齒廓并非標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線，繪制的齒輪精度較低，不利于后期對(duì)齒輪進(jìn)行力學(xué)和仿真分析;文獻(xiàn)還通過(guò)方程式驅(qū)動(dòng)的方式繪制漸開(kāi)線，能生成精度較高的齒輪模型，但所生成的齒輪模型沒(méi)有關(guān)于x 軸或y軸對(duì)稱，造成裝配時(shí)的定位不便。文獻(xiàn)介紹了使用邁迪、GearTrax插件、CAXA電子圖板繪制齒輪的方法，這些方法借助了外部的插件或軟件，雖然能夠保證建立的齒輪的齒廓為標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線齒廓，但當(dāng)設(shè)計(jì)過(guò)程中齒輪尺寸發(fā)生變化時(shí)則需要使用插件重新繪制齒輪，無(wú)法直接通過(guò)SolidWorks修改齒輪參數(shù)直接重建模型，造成設(shè)計(jì)時(shí)的不便。因此，需要對(duì)齒輪建模方法進(jìn)行優(yōu)化。
本文針對(duì)以上問(wèn)題，分析漸開(kāi)線方程和坐標(biāo)變換，利用SolidWorks中的方程式驅(qū)動(dòng)的曲線和方程式功能，根據(jù)齒輪形成的原理，對(duì)漸開(kāi)線圓柱直齒輪的建模方法進(jìn)行了優(yōu)化。
一、漸開(kāi)線方程
基本漸開(kāi)線方程
正確地繪制出漸開(kāi)線是圓柱齒輪精確建模的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，為了保證齒廓的精確性，本文采用漸開(kāi)線的參數(shù)方程來(lái)精確繪制齒輪的漸開(kāi)線齒廓。
一動(dòng)直線在一個(gè)固定的圓周上做純滾動(dòng)時(shí)，該直線上的任意一點(diǎn)所形成的軌跡被稱為漸開(kāi)線，其軌跡如圖1所示，根據(jù)漸開(kāi)線的形成原理可寫(xiě)出其參數(shù)方程：
式中：Db為基圓直徑，θ為展角。
漸開(kāi)線方程的優(yōu)化
由式(1)所生成的直齒輪的部分齒廓如圖2 所示，不難發(fā)現(xiàn)，按照式(1)生成的齒輪并不關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)，齒輪的對(duì)稱線與x軸線存在偏角，該偏角會(huì)在齒輪裝配時(shí)造成不便。因此，需要對(duì)漸開(kāi)線參數(shù)方程進(jìn)行優(yōu)化，為了使齒輪能夠關(guān)于基準(zhǔn)面對(duì)稱，需要使?jié)u開(kāi)線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)β角，從而使齒輪的模型能夠關(guān)于x軸對(duì)稱。其中，β為齒輪齒廓的對(duì)稱線與x軸的夾角。
在笛卡爾直角坐標(biāo)系上的曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)主要有兩種方式：一種方式是曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)系保持不動(dòng);另一種方式是坐標(biāo)系繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，使曲線相對(duì)坐標(biāo)軸的位置發(fā)生旋轉(zhuǎn)。在SolidWorks中，方程式驅(qū)動(dòng)的曲線是在全局默認(rèn)的坐標(biāo)系中生成的，其默認(rèn)的坐標(biāo)系無(wú)法更改，所以無(wú)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來(lái)完成旋轉(zhuǎn)曲線。因此，本文采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)漸開(kāi)線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)β，原理如下。
如圖3所示，坐標(biāo)(x，y)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到新坐標(biāo)(x′，y′),存在如下關(guān)系：
合并兩式化簡(jiǎn)得：
如圖4所示，計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度β。
由漸開(kāi)線的性質(zhì)得
其中，α為壓力角。
在直角ΔAOK中有
合并上述兩式得
γ為兩相鄰的齒夾角的一半
因此可求得旋轉(zhuǎn)角
在SolidWorks中，三角函數(shù)內(nèi)的輸入的數(shù)值需要用弧度表示：
最終優(yōu)化后的漸開(kāi)線的極坐標(biāo)參數(shù)方程可表示為：
二、圓柱直齒輪參數(shù)化建模
基本參數(shù)
圓柱直齒輪的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)如下：模數(shù)m;壓力角α;齒數(shù) Z;頂隙系數(shù)c* ;齒高系數(shù)h*a。
圓柱直齒輪的基本尺寸計(jì)算：分度圓直徑d=mz;基圓直徑 db=dcos α;齒頂圓直徑da=d+2ha=d+2h*am;齒根圓直徑df =d-2hf =d-2m(h*a+c*)。
創(chuàng)建全局變量
在SolidWorks工作界面的左側(cè)設(shè)計(jì)樹(shù)區(qū)域右鍵 “方程式”，選擇“管理方程式”選項(xiàng)，打開(kāi)方程式界面，在全局變量區(qū)域輸入模數(shù)m、齒數(shù)z、壓力角α、分度圓直徑D、基圓直徑Db、頂隙系數(shù)c* 、齒頂高系數(shù) ha* 、齒根圓直徑Df、齒根圓直徑Da、齒寬B。并輸入相應(yīng)的數(shù)值與計(jì)算公式，如圖5所示。
本部分以m=2、z =50和30、α=20°、h*a =1.0、c* = 0.25、B=20的標(biāo)準(zhǔn)齒輪為例。
繪制圓和漸開(kāi)線草圖
繪制齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓草圖。在草圖繪制界面以原點(diǎn)為圓心由大到小分別繪制齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓4個(gè)圓的草圖，并運(yùn)用“智能尺寸”標(biāo)注尺寸，在尺寸輸入界面輸入“=”，在彈出的選項(xiàng)中選擇“全局變量”，根據(jù)4個(gè)圓由大到小分別選擇 “Da”“D”“Df”“Db”，完成對(duì)齒頂圓、分度圓、齒根圓、基圓的尺寸與方程式全局變量的關(guān)聯(lián)。
構(gòu)造漸開(kāi)線。在“方程式”-“全局變量”中添加新變量“β”，為旋轉(zhuǎn)角，其值為“=("α"+90/"z"-tan("α")*180/PI)*PI/180”。在草圖繪制菜單中選擇“方程式驅(qū)動(dòng)的曲線”，選擇“參數(shù)性”輸入?yún)?shù)方程。在方程式“xt ”處輸入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*cos("β")-("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*sin("β");在“yt”處輸入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*sin("β")+("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*cos("β")。在參數(shù)“t1”處輸入0，“t2”處輸入“pi”，該參數(shù)的作用為控制漸開(kāi)線的展角范圍。至此，完成漸開(kāi)線的創(chuàng)建。
最后，為生成的漸開(kāi)線添加固定約束，使其為完全定義。
創(chuàng)建齒輪實(shí)體模型
生成齒坯模型。使用“特征”-“拉伸凸臺(tái)”命令，以齒頂圓為輪廓拉伸輪廓，在拉伸長(zhǎng)度中選擇全局變量“B”。實(shí)現(xiàn)齒輪厚度的參數(shù)化關(guān)聯(lián)。
切除單個(gè)齒槽。以齒坯的一面為草圖基準(zhǔn)面繪制草圖，選中齒根圓、齒頂圓和漸開(kāi)線草圖，執(zhí)行“轉(zhuǎn)換為實(shí)體引用”命令，用直線將齒根圓和齒頂圓與X 軸線的交點(diǎn)相連接。裁剪齒根圓和齒頂圓，形成封閉的一半的齒槽輪廓。選中該輪廓，使用“特征”-“拉伸切除”命令，切除尺寸選擇全局變量“B”。最后，使用 “特征”-“鏡像”命令，鏡像基準(zhǔn)面選擇“上視基準(zhǔn)面”，鏡像切除的特征，完成單個(gè)齒槽的切除。然后使用“特征”-“圓角”，選中齒根部分，圓角半徑的參數(shù)值為=“m”*0.38，完成單個(gè)齒廓的創(chuàng)建。
陣列完成齒廓的建模。使用“圓周陣列”，陣列切除成形的齒廓，陣列數(shù)量選擇全局變量“Z”，完成齒數(shù)的方程式關(guān)聯(lián)。
采用上述步驟完成齒數(shù)大于41齒時(shí)的圓柱直齒輪的造型，通過(guò)修改全局變量中的模數(shù)和齒數(shù)等參數(shù)，即可生成不同的齒輪，無(wú)需重新建立新的模型文件。
三、參數(shù)壓縮實(shí)現(xiàn)建模
當(dāng)基圓大于齒根圓時(shí)，即Df≤Db時(shí)，代入數(shù)值計(jì)算得齒數(shù)Z≤41.25，即當(dāng)齒數(shù)≤41齒時(shí)，漸開(kāi)線的起點(diǎn)位于齒根圓以外，如果按照上述方法直接修改參數(shù)，會(huì)導(dǎo)致模型重建失敗。若重建一個(gè)模型文件，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)任意齒數(shù)齒輪的建模。此時(shí)，則需要使用條件控制特征的壓縮，達(dá)到用一個(gè)模型完成任意齒數(shù)的圓柱直齒輪建模的目的。
IF函數(shù)控制壓縮
在SolidWorks中，可以運(yùn)用Visual Basic If函數(shù)有條件地控制模型變量，基本用法如下：
變量=IF(表達(dá)式,滿足條件返回的結(jié)果,不滿足條件返回的結(jié)果)。
例如，Y=IF(X>10,1,2)表示為當(dāng)X>10時(shí),Y=1;當(dāng) X≤10時(shí)，Y=2。
在“方程式”-“特征”區(qū)域，可以選擇對(duì)應(yīng)的特征。在“數(shù)值/方程式”處輸入="suppressed"，則表示該特征被壓縮;在“數(shù)值/方程式”處輸入="unsuppressed"，則表示該特性被取消壓縮。運(yùn)用該功能，可以很好地解決齒數(shù)小于42時(shí)重建模型發(fā)生錯(cuò)誤的問(wèn)題。
基于上述結(jié)論，可寫(xiě)出以下表達(dá)式：
該式表示齒數(shù)大于41時(shí)指定特征被壓縮;反之，則指定特征被解除壓縮。
創(chuàng)建最終齒輪模型
壓縮原模型。打開(kāi)“方程式”，在“特征”-“名稱” 中3行分別選擇設(shè)計(jì)樹(shù)中“切除”“鏡像”“陣列”“圓”3個(gè)特征，在“數(shù)值/方程式”輸入=IF("Z"<= 41，"suppressed"，"unsuppressed")，并將全局變量中齒數(shù)“Z”修改為30，完成原模型的壓縮。
按照本文2.4節(jié)中的操作方法，將漸開(kāi)線、齒頂圓和齒根圓引用后裁剪，得到未封閉的圖形，繪制一條直線連接漸開(kāi)線起點(diǎn)和齒根圓，然后添加幾何約束令直線與漸開(kāi)線相切，得到封閉圖形。再通過(guò)切除、鏡像、圓角、陣列一系列操作，完成齒數(shù)小于41齒的齒輪建模。
將新生成的4個(gè)特征添加到“方程式”-“特征” 中，數(shù)值處填入“=IF("Z" >41，"suppressed"，"unsuppressed")”，可以實(shí)現(xiàn)在齒數(shù)大于41時(shí)壓縮，齒數(shù)不大于41時(shí)解除壓縮。至此，優(yōu)化后的圓柱直齒輪造型完成，通過(guò)修改全局變量中齒輪的參數(shù)，便可以直接完成特征的重建。
四、結(jié)論
可以將該模型文件保存為樣板文件，當(dāng)在設(shè)計(jì)時(shí)需要使用到圓柱直齒輪時(shí)，只需調(diào)用該模型文件，修改全局變量中的模數(shù)、齒數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)后，可以直接生成所需要的齒輪模型。該模型運(yùn)用了漸開(kāi)線的參數(shù)方程，保證了齒輪的精度;且生成的齒輪關(guān)于上視基準(zhǔn)面對(duì)稱，便于后續(xù)進(jìn)行裝配和有限元分析;還實(shí)現(xiàn)了用一個(gè)模型滿足所有齒數(shù)的齒輪生成，避免修改齒數(shù)時(shí)報(bào)錯(cuò)，在一定程度上減少了重復(fù)操作，提高了效率，同時(shí)也為變位齒輪等具有多參數(shù)的零部件的參數(shù)化建模提供了一定的思路。
參考文獻(xiàn)略.